מחשבון עצרת כפולה

אודות מחשבון זה

העצרת הכפולה n!! היא מכפלת המספרים השלמים מ-n ועד 1 או 2, בדילוג על כל מספר שני כך שרק מספרים באותה זוגיות כמו n מוכפלים. עבור n אי-זוגי, n!! = n·(n−2)·(n−4)···3·1 (למשל 7!! = 7·5·3·1 = 105); עבור n זוגי, n!! = n·(n−2)···4·2 (למשל 8!! = 8·6·4·2 = 384). זו פעולה שונה מהפעלת עצרת פעמיים, (n!)! — העצרת הכפולה היא סדרה מוגדרת היטב בפני עצמה.

עצרות כפולות מופיעות באופן טבעי בקומבינטוריקה — לדוגמה, (2n−1)!! סופר את מספר הדרכים לזווג 2n עצמים (זיווגים מושלמים), ומכאן שהן מופיעות בתורת הגרפים ובמכניקה סטטיסטית. הן מופיעות גם בפתרונות סגורים לאינטגרלים הכוללים חזקות של סינוס וקוסינוס (נוסחאות וואליס), בפיתוחי המומנטים של האינטגרל הגאוסי, ובנוסחאות הנפח של ספירות n-מימדיות. סטודנטים הפותרים תרגילי קומבינטוריקה, הסתברות או חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי משתמשים במחשבון זה לחישוב מהיר של n!! לכל n.