מחשבון משפט תלמי

אודות מחשבון זה

משפט תלמי קובע שבכל מרובע חסום במעגל — מרובע שארבעת קודקודיו כולם שוכנים על מעגל אחד — מכפלת האלכסונים שווה לסכום מכפלות שני זוגות הצלעות הנגדיות: AC·BD = AB·CD + BC·DA. בהינתן ארבעת אורכי הצלעות לפי הסדר ואלכסון אחד, המחשבון מסדר מחדש את הזהות כדי לפתור את האלכסון החסר, קשר שנרשם לראשונה על ידי האסטרונום היווני תלמי באלמגסט לבניית טבלת המיתרים שלו.

המשפט הוא כלי סטנדרטי בקורסי גיאומטריה אוקלידית ובמתמטיקה תחרותית, שבהם הוא משמש להוכחת זהויות טריגונומטריות (כמו נוסחת סכום הזוויות לסינוס), לבדיקה אם ארבע נקודות שוכנות על מעגל אחד, ולפתרון בעיות בסגנון אולימפיאדה העוסקות במצולעים חסומים. הוא מוכלל גם לאי-שוויון תלמי, התקף לכל מרובע ונהפך לשוויון רק במקרה החסום במעגל — עובדה שתלמידי גיאומטריה ומורים משתמשים בה כדי לבדוק אם מרובע נתון יכול להיחסם במעגל בכלל.