ماشین‌حساب زیرفاکتوریل

درباره این ابزار

زیرفاکتوریل !n، که تعداد جایگشت‌های نابه‌جا n نیز نامیده می‌شود، تعداد جایگشت‌های n شیء را می‌شمارد که در آن‌ها هیچ شیئی در جای اصلی خود قرار نمی‌گیرد. این عدد با !n = n! · Σ(k=0 to n) (−1)^k/k! تعریف می‌شود، و برای n بزرگ بسیار نزدیک به n!/e می‌شود — در حقیقت !n نزدیک‌ترین عدد صحیح به n!/e است. برای مثال !۴ = ۹: از میان ۲۴ جایگشت ۴ شیء، تنها ۹ جایگشت همهٔ اشیا را نابه‌جا می‌گذارند.

نمونهٔ کلاسیک آن «مسئلهٔ تحویل کلاه» (یا «مسئلهٔ نامه‌های اشتباه‌آدرس‌شده») است: اگر n نفر کلاه‌های خود را تحویل دهند و این کلاه‌ها به‌طور تصادفی بازگردانده شوند، !n تعداد روش‌هایی است که در آن هر یک از افراد کلاه اشتباهی پس می‌گیرد. دانشجویان ترکیبیات، دوره‌های احتمال و علاقه‌مندان به معما از محاسبات زیرفاکتوریل برای حل مسئله‌های جایگشت نابه‌جا استفاده می‌کنند، و این مفهوم به رمزنگاری و نظریهٔ کدگذاری نیز گسترش می‌یابد، هر جا که جایگشت‌هایی با ویژگی «هیچ‌چیز در جای اصلی خود نمی‌ماند» اهمیت دارند.