ConverterHub

Harmonik Seri Toplamı Hesaplama

Harmonik serinin ilk n teriminin toplamını (kısmi toplam) hızlıca hesaplayın.

Sonuç

2,93
0,10

Nasıl hesaplanır?

Terim sayısını, yani n değerini (terms) 1 ile 10.000.000 arasında bir tam sayı olarak girin. Araç 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n toplamını terim terim hesaplar ve son terimi, 1/n değerini, de bildirir. Toplam 2 ondalıkla gösterilir. Son terim 0,01 ve üzerindeyken 2 ondalıkla, daha küçükken yaklaşık altı anlamlı rakamla gösterilir; n = 1000 için 0,00100000, n = 10.000.000 için 0,000000100000 görünür. 5,9 gibi ondalık bir sayı, sıfır, negatif sayı ya da 10 milyonun üzerindeki değerler sonuç vermez. Büyük n için toplam ln(n) + 0,5772 değerine yakındır ve çok yavaş büyür: n = 100 için yaklaşık 5,19, n = 1.000 için 7,49, n = 10.000.000 için 16,70.

Örnek hesaplama

n = 10 için ilk on terimi toplayın: 1 + 0,5 + 0,3333 + 0,25 + 0,2 + 0,1667 + 0,1429 + 0,125 + 0,1111 + 0,1 = 2,9290. Araç bunu 2,93 olarak yuvarlar. Son terim 1/10 = 0,10'dur. Yaklaşıkla kontrol: ln(10) + 0,5772 ≈ 2,3026 + 0,5772 = 2,88; yakındır ama aynı değildir, çünkü yaklaşıklık n büyüdükçe iyileşir.

Bu örneği dene →

Sık yapılan hatalar

  • Terimler küçülüyor diye toplamın sabit bir değere yaklaşacağını sanmak. Harmonik seri ıraksar; toplam çok yavaş da olsa yükselmeye devam eder.
  • 5,9 gibi ondalık bir terim sayısı yazıp yuvarlanmasını beklemek. Terim sayısı tam sayı olmalıdır; başka değerlerde sonuç çıkmaz.
  • Harmonik seriyi 1/n² serisiyle ya da geometrik seriyle karıştırmak. Onlar yakınsar; bu araç 1/k toplar, 1/k² değil.
  • Iraksamayı görmek için çok büyük n girmek. Sınır 10 milyon terimdir ve orada toplam yalnızca 16,70'tir; büyüme burada gözle görülür değil, yavaştır.
  • Son terimi toplamla karıştırmak. İkinci rakam yalnızca 1/n, yani son adımın büyüklüğüdür; birikmiş toplam değildir.

Bu hesaplama hakkında

Harmonik seri, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n toplamıdır. Her terim küçüldüğü için, toplamın 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... gibi sabit bir sayıya yerleşeceğini varsaymak cazip gelebilir — ama harmonik seri bunun klasik bir karşı örneğidir: ıraksar, yani sınırsızca büyür, ama can sıkıcı derecede yavaş bir şekilde. n terimden sonraki kısmi toplam, ln(n) + γ’ya çok yakın bir değer alır; burada γ ≈ 0,5772 Euler-Mascheroni sabitidir, yani sadece 100’ü geçmek için yaklaşık e^100 terime ihtiyaç vardır.

Bu hesaplayıcı, seçtiğiniz n değerine kadar tam kısmi toplamı ve son terimin (1/n) değerini hesaplar; bu, serilerin yakınsaklık ve ıraksaklık testlerini işleyen kalkülüs derslerinin vazgeçilmez bir alıştırmasıdır. Harmonik serinin adı aslında müzikten gelir: titreşen bir telin harmonik serisindeki üst ton frekansları, temel dalga boyunun 1, 1/2, 1/3... katlarıyla orantılıdır; aynı 1/n örüntüsünün akustik ve enstrüman tasarımında olduğu kadar, quicksort gibi algoritmaların ortalama durum çalışma süresini analiz ederken de karşımıza çıkmasının nedeni budur.

Bu faydalı oldu mu?

En fazla 3 tepki seçebilirsiniz.

Yorumlar

  • İlk yorumu siz yazın.

Popüler hesaplayıcılar

Kredi Hesaplama

Aylık taksit, toplam faiz ve ödeme planını hesaplayın.

Yüzde Hesaplama

Yüzde değişim, indirim ve oran hesaplamaları.

İndirim Hesaplama

İndirimli fiyatı, kazancı ve indirim tutarını hesaplayın.

Vücut Kitle Endeksi (VKİ)

Boy ve kiloya göre vücut kitle endeksini hesaplayın.

Yaş Hesaplama

Doğum tarihinden bugüne tam yıl, ay ve gün cinsinden yaşınızı hesaplayın.

Bileşik Faiz Hesaplama

Ana para, faiz oranı ve süreye göre bileşik faizle nihai tutarı hesaplayın.

Tüm Hesaplayıcılar